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48 Modelo de estimación de pesos de árbol filogenético para un cuartet/Álvarez-González/41-52

3.2 Espectro de secuencia espectral
Para un conjunto de linajes, esta matriz es de tamaño 2 ]ZL × 2 ]ZL , pues sus renglones y columnas están
ordenadas del mismo modo como lo están los renglones y columnas de la matriz Espectro de longitud de borde.
A la matriz Espectro de secuencia espectral se le denota por la letra .
]ZL ]ZL ]ZL
Observe que, para linajes distintos, después de fijar a uno de éstos, hay a lo más 4 = 2 × 2
diferentes patrones de sustitución.
El siguiente ejemplo ilustra cómo se pueden aproximar las entradas de la matriz , partiendo del
alineamiento de los cuatro linajes de la Tabla 2 del ejemplo 1.1.2:

Ejemplo 3.2.1.La Tabla 2 de la sección 1.1 resume los patrones de sustitución de un alineamiento de cuatro
\
\
linajes. Éstos pertenecen a una matriz Espectro de secuencia espectral de tamaño 2 MZL × 2 MZL = 2 × 2 =
8 × 8:

3.3 Conjugación de Hadamard
Teorema 3.3.1 Sea la matriz Espectro de longitud de borde de un árbol filogenético con hojas. Sea su
matriz Espectro de secuencia espectral.
Se cumple lo siguiente:

] ] = exp( ] ] ), (2)

donde ] es la matriz de Hadamard de tamaño 2 ]ZL × 2 ]ZL , obtenida inductivamente de esta manera:

1.

2. ] = L ⊗ ]ZL .

En este caso, el término exp de la ecuación 2 se refiere a la función exponencial exp: ℝ → ℝ, que se evalúa
independientemente en cada entrada de la matriz producto ] ] .
El símbolo ⊗ del teorema 3.3.1 significa el producto de Kronecker. El primer factor en un tal producto es la
matriz indicadora, como lo ilustra el siguiente ejemplo:

Tequio, enero-abril 2021, vol. 4, no. 11