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46 Modelo de estimación de pesos de árbol filogenético para un cuartet/Álvarez-González/41-52

de las matrices de transición. De hecho esta segunda versión de la función de verosimilitud es la que se usará
sobre el cuartet de la Figura 1.

3. Conjugación de Hadamard
Conjugación de Hadamard es una relación que involucra los pesos de un árbol filogenético con la distribución
de probabilidad de los patrones de sustitución asociados a un alineamiento de un conjunto finito de linajes.
Para establecer dicha relación es necesario construir dos matrices espectrales: la matriz “Espectro de longitud
de borde” y la matriz “Espectro de secuencia espectral". La primera incluye los pesos del árbol filogenético; la
segunda contiene las probabilidades de todos los patrones de sustitución asociados al alineamiento.

3.1 Espectro de longitud de borde
Antes de dar una definición de esta matriz, es importante aclarar la notación. Supongamos que tenemos n
linajes. Fijemos el i-ésimo (puede ser cualquier otro). Toda pareja ordenada de subconjuntos (ajenos entre sí)
, de [] = {1,2, ⋯ } es una bipartición del conjunto de linajes, si ∪ = []. Se acostumbra a identificar a
dichas parejas con el subconjunto que no incluye al i-ésimo linaje (linaje de referencia).
Sobre la base de un árbol filogenético, hacer un corte sobre cualquiera de sus ramas también produce una
bipartición: dicho corte descompone el árbol en dos subárboles complementarios (cada subárbol tiene asociado
un conjunto de hojas). Cada rama se identifica con la bipartición asociada al corte de ésta (o mejor dicho, con el
subconjunto componente de la bipartición que excluye a la hoja de referencia). En el siguiente ejemplo, los lados
se denotan con la letra más un subíndice asociado a la bipartición del corte.

Ejemplo 3.1.1. Fijemos la tercera hoja del árbol filogenético de la Figura 1. Sus biparticiones se identifican por
el subconjunto que excluye la tercera hoja:

Nota: Reservamos el símbolo () para denotar el conjunto de lados (o ramas) del árbol filogenético .

Para un árbol filogenético que explique las relaciones ancestrales de linajes, se define su matriz Espectro
de longitud de borde, , de la siguiente manera:

Tequio, enero-abril 2021, vol. 4, no. 11